・eSportsで稼ぐ仕組みは?

現状、日本でeSportsでお金を稼ぐ手段としては、大会に出て賞金を得る、という手段が主になります。
賞金はゲームや大会規模によって差があります。
さらにeSportsでよく使用されているDota 2などではチームプレイが主になりますので、賞金はチーム人数で山分けということになります。

個人的にスポンサードされる、という方法もありますが、こういったスポンサーを得ることができるプレイヤーはごく一部です。
日本でも数人しか存在していません。
日本で個人的にスポンサーを得ているプレイヤーとしては梅原大吾氏が有名です。
天下無双といわれる程の実力と知名度、勝負強さを持つこと、さらには大会で得た賞金をすべて寄付する、といった慈善活動なども必要でしょう。
さらにスポンサードされたといっても現金がもらえる場合だけでなく、ジョイスティックやヘッドセットなどの現物を支給されることも多くあります。

・平均月給は?

eSportsで収入を得る、といってもその収入は千差万別です。
高額を得ることもできますが、実績が伴わなければ0円、生活できません。

世界トッププレイヤーとしてはドイツのKuroKy氏が挙げられます。
スポンサー収入を抜きにして、賞金だけで年収348万ドルという数字、日本円にして382,800,000円(1ドル110円)になります。
Team Liquidのリーダーをやっており、Dota 2で約270,000,000円の収入を得ています。

2位のプレイヤーもTeam Liquidのメンバー、Miracle氏です。
306万ドル、日本円にして336,600,000円になります。

日本人のトップとしてはときど氏、年収は2000万円ほどです。
日本での収入4位以下の平均は340万円程度、月給としては30万円程度になります。